Månefaser, urverk og utvekslinger.

[chrbir]

Da jeg besøkte Stepan Sarpaneva i mars, snakket vi litt rundt dette med presisjon i månefasekomplikaksjoner. Hans Moonment er vel kjent som nr to etter Andreas Strehler's Lune Exacte. Det er forresten Strehler som har hjulpet Sarpaneva med beregning av utvekslingene i Lunations.

Som mattelærer ble jeg interessert i hvordan man enklest mulig finner den beste kombinasjonen av tannhjul som kan reprodusere f.eks. en synodisk måned. I gjennomsnitt er det 29 d 12 t 44 min 2,88 s, eller 29,53058892.. døgn, fra en fullmåne til den neste. Problemet er å finne en brøk, altså en utveksling, som er nærmest mulig i verdi.

Løsningen fant jeg i Achille Brocots 'Calcul des rouages par approximation..." fra 1862, først i en forkortet tysk oversettelse, men etter påskeferien lå den fullstendige franske originalteksten i postkassen.

Blant mange andre eksempler presenterer han bl. a. en månefase som ville vært ett døgn feil etter ca. 10 mill. år! Til sammenligning er Andreas Strehler's, som er tatt inn i Guinness som den mest presise, oppgitt til å bruke 'bare' 2 mill. år før den er ett døgn ute av fase. (Den påstanden er jeg forresten tvilende til etter å ha sett nærmere på tallene, mer om det senere ).

 

[olapåsvingen]

Flott tråd! Jeg gleder meg til å lese fortsettelsen

 

[Phenix]

Fantastisk og nerdete. Gleder meg til videre betrakninger fra deg

Edit: Månefase er min favoritt komplikasjon.

 

[mph90]

Morsomt! Gleder meg til fortsettelsen - litt av en nøyaktighet under produksjon av tannhjulene

 

[Watcher]

Takk, veldig interessant. Sitter med månefase komplikasjon på min Blancpain. Får meg til å lure på hvordan de beregnet dette....

 

[chrbir]

Takk, veldig interessant. Sitter med månefase komplikasjon på min Blancpain. Får meg til å lure på hvordan de beregnet dette....

Du har vel et 5954-urverk i din (?), men det fant jeg ikke noe godt bilde av.
Jeg tror Blancpain stort sett går for den "enkle" varianten hvor timehjulet driver en månefaseskive med 59 tenner, slik at månefasen er 29,5 døgn. Det går likevel ca 2,5 år før den er ett døgn i utakt.

 

[Labbos]

Spennende! Dette er kvalitetsinnhold!

 

[Watcher]

@chrbir Jo, caliber 5954 stemmer. Men er ikke det at den kommer så kjapt i utakt i et perpetual verk litt i underkant av hva man kan forvente?

 

[chrbir]

@chrbir Jo, caliber 5954 stemmer. Men er ikke det at den kommer så kjapt i utakt i et perpetual verk litt i underkant av hva man kan forvente?

Det kan du si, men det skal vel bare et knappetrykk til annethvert år for å være i takt.
Den første trinnet mot større presisjon ser ut til å være ulike varianter med 135 tenner på månefaseskiven.
Hvis du f.eks forbinder akslingen til timeviseren via to utvekslinger på 56/8 og 135/8 til måneskiven, så vil du få en periode på 29 d 12 t og 45 min. Da er feilen ca. 57 sek. pr månesyklus, og det vil gå 122,6 år før den er ett døgn feil. Lange, Arnold & Son og sikkert mange fler bruker varianter av dette.

 

[Watcher]

Det kan du si, men det skal vel bare et knappetrykk til annethvert år for å være i takt.
Den første trinnet mot større presisjon ser ut til å være ulike varianter med 135 tenner på månefaseskiven.
Hvis du f.eks forbinder akslingen til timeviseren via to utvekslinger på 56/8 og 135/8 til måneskiven, så vil du få en periode på 29 d 12 t og 45 min. Da er feilen ca. 57 sek. pr månesyklus, og det vil gå 122,6 år før den er ett døgn feil. Lange, Arnold & Son og sikkert mange fler bruker varianter av dette.

Takk for superb innsikt og forklaring. Litt skuffende å få vite det om min nyerverdede complicated watch. Men Blancpains løsning med under lug corrections er forsåvidt ganske genial men hadde nok forventet bedre av caliberet. Så ingenting slår en løsning som går upåvirket år etter tiår etter hundreår etter….

 

[chrbir]

Etter jeg kom hjem fra Helsinki begynte jeg å se nærmere på Strehler sin månekomplikasjon for å se om jeg kunne regne meg tilbake til hvilke utvekslinger han hadde brukt. Utgangspunktet var denne figuren:

Til venstre er timeakslingen med en rotasjonsperiode på tolv timer, og til høyre måneskiven med en periode på 2 synodiske måneder (59.06.. døgn). De to første utvekslingene er enkle å finne, siden de begge har 8 tenner på det drivende tannhjulet. Den siste utvekslingen er kjent (0,62765957...), men ingen av tannhjulene er fullstendig synlige. Det var her Brocot kom til nytte. Boka hans inneholder en 40-siders tabell over alle ekte brøker med nevner mindre enn 100, sortert i stigende rekkefølge.

På side 74 finner man brøken som gir dette utvekslingsforholdet, 59/94.

En interessant egenskap med denne listen, er at alle brøkene alltid kan uttrykkes ved å legge sammen hhv. tellere og nevnere i den foregående og etterfølgende brøken. Når man gjør dette får man alltid en brøk, medianten, som ligger mellom de to opprinnelige i verdi. Det er denne egenskapen Brocot utnytter i metoden sin for å finne stadig bedre tilnærminger til det ønskede utvekslingsforholdet. F.eks er 1949/66 og 1447/49 de to beste tilnærmingene til 29,53... døgn, og ved å gradvis øke verdien av teller og nevner, kommer man stadig nærmere den ønskede verdien. De brukbare resultatene er de som kan faktoriseres til passende størrelser av tannhjul.

Brocot er digitalisert av det franske nasjonalbiblioteket: Calcul des rouages...

Tilbake til Strehler. Det var en detalj jeg stusset over i utregningen av presisjonen.

Avviket pr. fase er ekstremt presist angitt - er virkelig månefasenes periode bestemt med nanosekunders presisjon? Og hva regner egentlig Strehler som månens 'sanne' periode? Nå som utvekslingen var kjent, var det ikke noe problem å finne ut av det. Strehlers månefasekomplikasjon har en periode på 29 d 12 t 44 min 2,796610169 s. Hvis vi legger til det oppgitte avviket, får vi at den synodiske måneden Strehler bruker som referanse er 29 d... 2,8000000000 s. Denne verdien er for rund til å være sann - her var det ugler i mosen.

Spørsmålet var da: Hvor lang er egentlig en synodisk måned? Forskjellige klokkemerker opererer tydeligvis med forskjellige standarder når de beregner presisjonen i komplikasjonene sine. De jeg har funnet som sier noe om det er: Lange: 3,0 s, VC: 2,82 s, Oechs & jr: 2,89 s og Ulysse Nardin: 2,9 s.

Jeg ringte den ene astronomen jeg kjenner, og fikk bekreftet at den modellen som er referert på Wikipedia, Chapront, Chapront-Touzé & Francou (2002), er den allment aksepterte. Den angir at den gjennomsnittlige synodiske måneden (2022) er 29 d 12 t 44 min 2,88 s.
Hvis jeg da sammenligner Strehlers månefase med denne verdien, så vil det 'bare' gå litt over 80000 år før den er ett døgn i utakt.
Viktig? Nei. Interessant? Ja.

Uansett er Strehlers komplikasjon den mest presise i et armbåndsur. Men den beste løsningen av alle, er Brocots fra 1861, (13x29x137)/(3x11x53). Det ville gått litt over 10 mill. år før den var ett døgn feil!

Så må vi jo se bort fra at det er en langsomt økende trend i månens periode siden den gradvis fjerner seg fra jorden p.g.a. overføring av spinn via tidevannet. I tillegg er tiden mellom to fullmåner aldri lik den synodiske måneden. I 2022 er den korteste perioden 29 d 10 t 36 min, og den lengste 29 d 15 t 22 min. Dessuten vil ingen mekaniske ur vil ha en nøyaktighet som er like høy som presisjonen i disse kompikasjonene, og om de fremdeles tikker og går så langt inn i framtiden er vel tvilsomt.

 

[havarduf]

Etter jeg kom hjem fra Helsinki begynte jeg å se nærmere på Strehler sin månekomplikasjon for å se om jeg kunne regne meg tilbake til hvilke utvekslinger han hadde brukt. Utgangspunktet var denne figuren:

Vis vedlegg 287929

Til venstre er timeakslingen med en rotasjonsperiode på tolv timer, og til høyre måneskiven med en periode på 2 synodiske måneder (59.06.. døgn). De to første utvekslingene er enkle å finne, siden de begge har 8 tenner på det drivende tannhjulet. Den siste utvekslingen er kjent (0,62765957...), men ingen av tannhjulene er fullstendig synlige. Det var her Brocot kom til nytte. Boka hans inneholder en 40-siders tabell over alle ekte brøker med nevner mindre enn 100, sortert i stigende rekkefølge. Vis vedlegg 287930

På side 74 finner man brøken som gir dette utvekslingsforholdet, 59/94.
Vis vedlegg 287931
En interessant egenskap med denne listen, er at alle brøkene alltid kan uttrykkes ved å legge sammen hhv. tellere og nevnere i den foregående og etterfølgende brøken. Når man gjør dette får man alltid en brøk, medianten, som ligger mellom de to opprinnelige i verdi. Det er denne egenskapen Brocot utnytter i metoden sin for å finne stadig bedre tilnærminger til det ønskede utvekslingsforholdet. F.eks er 1949/66 og 1447/49 de to beste tilnærmingene til 29,53... døgn, og ved å gradvis øke verdien av teller og nevner, kommer man stadig nærmere den ønskede verdien. De brukbare resultatene er de som kan faktoriseres til passende størrelser av tannhjul.
Vis vedlegg 287937
Brocot er digitalisert av det franske nasjonalbiblioteket: Calcul des rouages...

Tilbake til Strehler. Det var en detalj jeg stusset over i utregningen av presisjonen.
Vis vedlegg 287940
Avviket pr. fase er ekstremt presist angitt - er virkelig månefasenes periode bestemt med nanosekunders presisjon? Og hva regner egentlig Strehler som månens 'sanne' periode? Nå som utvekslingen var kjent, var det ikke noe problem å finne ut av det. Strehlers månefasekomplikasjon har en periode på 29 d 12 t 44 min 2,796610169 s. Hvis vi legger til det oppgitte avviket, får vi at den synodiske måneden Strehler bruker som referanse er 29 d... 2,8000000000 s. Denne verdien er for rund til å være sann - her var det ugler i mosen.

Spørsmålet var da: Hvor lang er egentlig en synodisk måned? Forskjellige klokkemerker opererer tydeligvis med forskjellige standarder når de beregner presisjonen i komplikasjonene sine. De jeg har funnet som sier noe om det er: Lange: 3,0 s, VC: 2,82 s, Oechs & jr: 2,89 s og Ulysse Nardin: 2,9 s.

Jeg ringte den ene astronomen jeg kjenner, og fikk bekreftet at den modellen som er referert på Wikipedia, Chapront, Chapront-Touzé & Francou (2002), er den allment aksepterte. Den angir at den gjennomsnittlige synodiske måneden (2022) er 29 d 12 t 44 min 2,88 s.
Hvis jeg da sammenligner Strehlers månefase med denne verdien, så vil det 'bare' gå litt over 80000 år før den er ett døgn i utakt.
Viktig? Nei. Interessant? Ja.

Uansett er Strehlers komplikasjon den mest presise i et armbåndsur. Men den beste løsningen av alle, er Brocots fra 1861, (13x29x137)/(3x11x53). Det ville gått litt over 10 mill. år før den var ett døgn feil!

Så må vi jo se bort fra at det er en langsomt økende trend i månens periode siden den gradvis fjerner seg fra jorden p.g.a. overføring av spinn via tidevannet. I tillegg er tiden mellom to fullmåner aldri lik den synodiske måneden. I 2022 er den korteste perioden 29 d 10 t 36 min, og den lengste 29 d 15 t 22 min. Dessuten vil ingen mekaniske ur vil ha en nøyaktighet som er like høy som presisjonen i disse kompikasjonene, og om de fremdeles tikker og går så langt inn i framtiden er vel tvilsomt.

Tommel opp. Helt rått.

 

[maretranquillitatis]

Dette rer grunnen til at jeg er medlem på et klokkeforum på internett

 

[chrbir]

Intervju med Strehler hvor han snakker litt om månefasen sin:

 

[chrbir]

Absolutt imponerende, og noe jeg har sansen for....

Men - jeg skulle likt å sett beregningen som viser at det tar 45 mill år før den er ett døgn ute av fase. Det utgjør ca. 0,155 millisek. avvik pr månesyklus. Problemet er at den modellen bl. a NASA bruker for å beregne månefaser og formørkelser, J. Chapront, M. Chapront-Touzé and G. Francou, 2002, ikke har så stor presisjon. I den modellen ligger usikkerheten i den gjennomsnittlige synodiske månedens lengde på rundt 1/100 sek. (Og så ser vi selvfølgelig bort i fra at månens omløpstid rundt jorda gradvis øker.)

EDIT: Stygg regnefeil fra min side, presisjonen i den teoretiske månemodellen er nærmere 1/100000 sek., så da er det nok mulig. Det jeg lurer på da, er hva de har satt som benchmark for en synodisk måned.

Nå har jeg hatt et par dager til å se nærmere på presisjonen til IWCs nye månefase.

Først et utklipp fra pressemeldingen deres:

MOON PHASE WITH A CALCULATED ACCURACY OF 45 MILLION YEARS​

​

Since the introduction of the perpetual calendar almost four decades ago, IWC has also taken great strides to continuously improve the accuracy of its moon phase displays. While the Da Vinci Perpetual Calendar Chronograph (Ref. IW3750) from 1985 featured a moon phase precision of 122 years, the first Portugieser Perpetual Calendar (Ref. IW5021) from 2003 impressed with a moon phase accuracy of 577.5 years. IWC’s engineers have now taken on the challenge to develop a new moon phase display with unprecedented precision. ​

​

The difficulty in displaying the moon phase on the dial of a watch lies in the fact that the moon does not follow a daily rhythm in its orbit around the Earth. A cycle from new moon to new moon – one lunation – does not last 30 days, but rather 29 days, 12 hours, 44 minutes, and 2.88 seconds. The duration of one calendar month must therefore be reduced as close as possible to one lunar cycle. This is achieved by placing a reduction gear between the base movement and the moon phase disc. The key to high precision lies in the quantity of wheels used, their proportions and the number of teeth they have. IWC’s engineers have now used a special computer program to simulate more than 22 trillion different combinations. For the Portugieser Eternal Calendar, they came up with a new reduction gear train using three intermediate wheels. Mathematically, the display will only deviate from the moon’s orbit by one day after 45 million years.​

Det er 12,368266... synodiske måneder (gjennomsnittlig tid fra en fullmåne til den neste) i et kalenderår. I løpet av 45 millioner år blir det 556,6 millioner månesykler. Da tilsvarer det oppgitte avviket til IWC at månefasen deres går 86400 sek/556,6 mill = 0.155 millisek. feil pr syklus. Avviket er så lite at det betyr at IWC må ha sammenlignet med en verdi angitt mer presist enn 29 d 12 t 44 min 2,88 s.

Standardmodellen for å beregne månens bane, Éphéméride Lunaire Parisienne, angir lengden av den synodiske måneden til i dag å være 29,530588906 døgn, eller 29 d 12 t 44 min 2,881439.... sek, og den øker sakte slik at den om ett år vil være .....2.881625 sek. Det vil si at om et knapt år vil avviket IWC oppgir (0.155 millisek) enten være nullet ut eller doblet. Her sikter man virkelig på et bevegelig mål, og man må selvfølgelig velge en bestemt lengde av månesyklusen når urverket skal beregnes. Problemet er bare at når det deles ut verdensrekorder i presisjon, så har ulike urmakere brukt forskjellige benchmarks.

Men hvor vanskelig er det egentlig å finne en passende kombinasjon av tannhjul? Som jeg har skrevet tidligere i tråden, så gjorde man dette allerede på 1800-tallet uten "supercomputers" og "special programs". Jeg tenkte jeg skulle prøve meg frem med noen linjer kode i Python, med begrensingene at det skulle brukes tre utvekslinger og at tannhjulene kunne ha fra 8 til 140 tenner (og mine begrensede kodekompetanse). Jeg antok også at det første drivende tannhjulet sitter på timehjulet og at månefasekomplikasjonen bare går en halv omdreining pr. månesyklus. Målet var å komme så nær 2,881439 sek som mulig.

Etter noen timers kjøring hadde jeg fått ut litt ulike kombinasjoner som kunne fungere. Den som var nærmest var (11x12x53)/(13/29/137). Denne har et avvik pr i dag på + 0,208 millisek pr månesyklus, noe som gjør at det ville tatt 33,6 millioner år før den er ett døgn i utakt. Siden månesyklusen vi sammenligner med gradvis øker, så vil den i slutten av juli være like presis som IWCs, så det er ikke utenkelig at det denne utvekslingen, eller en multippel av den som IWC har brukt. Det kuriøse er at hvis vi går ett år fram i tid, så vil avviket være så lite at jeg da kan påstå at den vil bruke 329 mill før den må stilles en dag. Etter hvert vil den passere null i avvik, og så vil avviket øke med motsatt fortegn.

PS. Hvis noen får lyst til å kontrollregne og finner at (13x29x137)/(11x12x53) ikke er lik 29,530588906, så husk at brøken må deles med 4 siden timeviseren gjør to runder i døgnet, og månekomplikasjoner vanligvis gjør en halv omdreining i måneden.

 

[chrbir]

Og så oppdager jeg først nå, at løsningen jeg fant ved hjelp av python er nøyaktig den samme som Achille Brocot fant i 1862.

 

[Preacher]

Dette er herlig lesing og nerding på høyt plan! Takk.

 

[chrbir]

Nysgjerrig som jeg er sendte jeg en epost til IWC på lørdag og spurte hva referanseverdien deres var. Allerede i dag fikk jeg svar fra teknisk direktør Lorenz Brunner. Først et som egentlig ikke fortalte så mye mer enn pressemeldingen, men på oppfølgingsspørsmål ga han utfyllende svar i løpet av en halvtime, og han virket oppriktig glad for nerdete spørsmål. Kudos!

De hadde tenkt gjennom de samme problemstillingene som meg, at siden månens periode stadig øker, så kan du få en nesten uendelig stor nøyaktighet dersom du velger 'riktig' referansedato. De har derfor valgt å sette 29d 12t 44min 2.880000000 som det målet de siktet mot i beregningene. (Det er også en riktigere verdi enn Strehler's). Samtidig satt de minste og største antall mulige tenner på tannhjul til å være hhv. 18 og 120.

Å regne gjennom alle de mulige kombinasjonene tar for lang tid på en laptop, men ut fra bildene i pressemeldingen går det an å snevre inn mulighetene ganske mye. I tillegg til de tre parene av tannhjul vi ser her, må det siste sitte på den roterende månedisken og sannsynligvis et tilknyttet timeviseren i sentrum. Da blir det åtte tannhjul som må beregnes, men det bør være mulig å løse i løpet av morgendagen.

 

[chrbir]

Nysgjerrig som jeg er sendte jeg en epost til IWC på lørdag og spurte hva referanseverdien deres var. Allerede i dag fikk jeg svar fra teknisk direktør Lorenz Brunner. Først et som egentlig ikke fortalte så mye mer enn pressemeldingen, men på oppfølgingsspørsmål ga han utfyllende svar i løpet av en halvtime, og han virket oppriktig glad for nerdete spørsmål. Kudos!

De hadde tenkt gjennom de samme problemstillingene som meg, at siden månens periode stadig øker, så kan du få en nesten uendelig stor nøyaktighet dersom du velger 'riktig' referansedato. De har derfor valgt å sette 29d 12t 44min 2.880000000 som det målet de siktet mot i beregningene. (Det er også en riktigere verdi enn Strehler's). Samtidig satt de minste og største antall mulige tenner på tannhjul til å være hhv. 18 og 120.

Å regne gjennom alle de mulige kombinasjonene tar for lang tid på en laptop, men ut fra bildene i pressemeldingen går det an å snevre inn mulighetene ganske mye. I tillegg til de tre parene av tannhjul vi ser her, må det siste sitte på den roterende månedisken og sannsynligvis et tilknyttet timeviseren i sentrum. Da blir det åtte tannhjul som må beregnes, men det bør være mulig å løse i løpet av morgendagen.

Vis vedlegg 367186

Jeg sleit litt med å finne ut av dette. Avstanden fra de tre hjulene over til timehjulet i senter var for stor, og utvekslingen var ikke stor nok til at det kunne være det som drev månefasen. Løsningen fant jeg på et av Monochrome sine bilder - det er ukehjulet som driver månefasen, på samme måte som i Kurt Klaus sin opprinnelige variant.

Da blir utvekslingsforholdet et litt annet, men jeg innbiller meg at jeg har en løsning, gitt IWCs rammer, som er minst like bra som deres - nå må jeg bare trippelsjekke antagelsene mine, men det får vente til i morgen.

 

[chrbir]

Da har jeg sjekket løsningen min fra i går, og jeg tror jeg har funnet den utvekslingen IWC har brukt. Månefaseskiven bruker 2 månesykluser på en omdreining, og med den lengden for den synodiske måneden IWC har valgt, blir det 59,0611777....døgn. Siden månefasen drives av daghjulet som gjør én omdreining i uka, blir det totale utvekslingsforholdet mellom dem 59,0611777... / 7 = 8.4373111....Dette skjer ved hjelp av totalt 8 tannhjul, og ut fra bildene IWC har publisert, går det an å begrense de mulige antallene tenner ganske mye.
Løsningen blir da (118 x 89 x 56 x 47) / (57 x 55 x 55 x 19) = 8.43731111161985... Eventuelt kan 118 og 56 byttes ut med 112 og 59. Avviket fra den ideelle verdien angis da i uker per to månefaser. Det tilsvarer 0,154 millisek pr månefase og 1,90 millisek pr år. Da tar det ca. 45 mill år før månefasekomplikasjonen er 86400 s (ett døgn) i utakt.